📚 지식 노트

변화율과 기울기: 평균에서 순간으로

공을 떨어뜨리면 t초 동안 약 s(t) = 5t²미터 떨어진다(중력 가속도를 10으로 어림했다). 1초에서 2초 사이 평균 속도는 (s(2) − s(1)) / 1 = (20 − 5) / 1 = 15 m/s다. 그래프에서 이 값은 두 점을 잇는 직선, 곧 할선의 기울기다.

그렇다면 정확히 1초인 순간의 속도는? 구간 길이 h를 줄여 가며 평균 속도를 구하면 h = 1일 때 15, h = 0.5일 때 12.5, h = 0.1일 때 10.5, h = 0.01일 때 10.05이다. 식으로 쓰면 (5(1 + h)² − 5) / h = 10 + 5h라서, h를 0으로 보내면 10이 남는다. 이 극한값이 t = 1에서의 순간 변화율, 곧 미분계수 s′(1)이고, 할선이 다가가는 직선이 접선이다.

여기서 h = 0을 그냥 넣을 수는 없다. 0 / 0이 되기 때문이다. "h를 0에 한없이 가깝게 하면 값이 어디로 가는가"를 따로 정의한 것이 다음 절의 극한이다.

극한과 연속

lim_x→a f(x) = L은 "x를 a에 충분히 가깝게 잡으면 f(x)를 L에 원하는 만큼 가깝게 만들 수 있다"는 뜻이다. 이 말을 정확히 한 것이 ε–δ 정의다. 누가 오차 한계 ε > 0을 아무리 작게 정해 와도, 0 < |x − a| < δ이면 |f(x) − L| < ε이 되는 δ를 늘 찾아 줄 수 있으면 극한이 L이다. x = a에서의 값 f(a)는 극한과 상관이 없다. 정의되지 않아도 된다.

대표적인 예가 sin x / x다. x = 0에서는 0 / 0이라 값이 없지만 x를 줄여 가면 1 → 0.841471, 0.5 → 0.958851, 0.1 → 0.998334, 0.01 → 0.999983로 1에 다가간다. ε = 0.05을 요구받으면 δ ≈ 0.552을 주면 된다. 이 극한이 (sin x)′ = cos x를 증명하는 열쇠다. 각도를 라디안으로 잴 때만 이렇게 깔끔하게 1이 된다.

또 하나는 e다. 1년 이자율 100%를 n번 나눠 복리로 붙이면 1원이 (1 + 1/n)ⁿ원이 된다. 1년 1번 2, 반년 2.25, 분기 2.4414, 매달 2.613, 매주 2.6926, 매일 2.7146로 늘지만 끝없이 커지지 않고 e = 2.718282…에 다가간다. 이 수를 밑으로 하는 eˣ는 미분해도 자기 자신인 유일한 지수 함수라서, 성장과 감쇠를 다룰 때 늘 나온다.

sin x / x처럼 그냥 넣으면 0/0이 되는 꼴을 부정형이라 한다. 0/0, ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰의 일곱 가지로, 값이 없다는 뜻이 아니라 꼴만 보고는 정해지지 않는다는 뜻이다. 그래서 ∞ − ∞를 0으로, 1^∞을 1로 두는 것이 가장 흔한 실수다. 바로 위의 (1 + 1/n)ⁿ이 1^∞ 꼴인데 1이 아니라 e로 간다. 푸는 길은 꼴을 바꾸는 것이다. 인수분해로 0이 되는 인수를 지우거나(첫 절의 (5(1 + h)² − 5)/h = 10 + 5h), 분자를 유리화하거나, 0/0·∞/∞ 꼴이면 로피탈 정리로 분자와 분모를 따로 미분한 lim f′/g′를 본다. 나머지 꼴은 로그를 씌우거나 식을 묶어 이 두 꼴로 바꾼 뒤 쓴다. 로피탈은 몫의 미분법과 다르고, 0/0이나 ∞/∞가 아닌 곳에 쓰면 틀린 답이 나온다.

함수가 x = a에서 연속이라는 것은 극한과 함숫값이 같다는 것, 곧 lim_x→a f(x) = f(a)다. 그래프를 펜을 떼지 않고 그릴 수 있다는 직관과 같다. 연속 함수는 중간값 정리(f(a) < 0 < f(b)면 그 사이에 근이 있다)를 만족해, 아래의 뉴턴 방법이나 이분법이 근을 찾는 근거가 된다. 미분 가능하면 연속이지만 거꾸로는 아니다. |x|는 0에서 연속이지만 꺾여 있어 미분할 수 없다.

도함수와 미분 규칙

모든 x에서의 순간 변화율을 모은 함수가 도함수 f′(x) = lim_h→0 (f(x + h) − f(x)) / h다. 매번 극한을 계산하지 않도록 몇 가지 규칙을 한 번 증명해 두고 조합해 쓴다. 아래 표의 마지막 열은 공식으로 구한 값이고, 중앙 차분 (f(x + h) − f(x − h)) / 2h로 구한 수치 미분과 소수점 아래 여섯 자리까지 맞는다.

곱의 법칙은 직사각형 넓이로 보면 외울 필요가 없다. 가로 u, 세로 v인 직사각형에서 u가 du, v가 dv만큼 자라면 늘어난 넓이는 오른쪽 띠 v·du, 아래 띠 u·dv, 귀퉁이 du·dv다. du, dv가 작아지면 귀퉁이는 둘의 곱이라 훨씬 빨리 사라지고, 남은 두 띠가 d(uv) = u′v + uv′다.

연쇄 법칙은 "x가 조금 바뀌면 안쪽 g가 g′배, 그 변화가 바깥 f에서 다시 f′배"라는 뜻이다. sin(x²)을 x = 1에서 미분하면 안쪽 x²의 기울기 2에 바깥 sin의 기울기 cos 1 ≈ 0.5403를 곱해 1.0806다. 함수를 수천 번 겹친 신경망의 학습(역전파)이 이 규칙의 반복이고, 계산 그래프로 푸는 예는 AI를 위한 수학 노트에 있다.

미분의 쓰임: 극값, 뉴턴 방법, 선형 근사

극값과 최적화. 매끄러운 함수가 꼭대기나 바닥에 닿는 곳에서는 접선이 수평이다. 그래서 최댓값·최솟값 후보는 f′(x) = 0인 점(과 구간의 끝)이다. 한 변 12인 정사각형 판의 네 귀퉁이에서 한 변 x인 정사각형을 잘라 접으면 부피가 V(x) = x(12 − 2x)²인 뚜껑 없는 상자가 된다. V′(x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0에서 x = 2(x = 6은 판이 사라지는 끝)이고, 이때 부피 128이 최대다. V′의 부호가 + → −로 바뀌는 것으로 최대임을 확인한다(1계 도함수 판정). V″(2) < 0으로 확인해도 된다.

뉴턴 방법. f(x) = 0의 근을 공식으로 못 구할 때, 지금 추측 xₙ에서 곡선을 접선으로 바꿔 접선의 근을 다음 추측으로 삼는다. xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f′(xₙ). √2는 x² − 2 = 0의 근이므로 x₀ = 2에서 출발하면 1.5, 1.416667, 1.414216, …로 4번 만에 소수점 아래 11자리가 맞는다. 근 근처에서는 오차가 매번 대략 제곱되어(2차 수렴) 맞는 자릿수가 두 배씩 는다. 다만 출발점이 나쁘거나 f′이 0에 가까우면 엉뚱한 곳으로 튀므로, 실제 라이브러리는 이분법 같은 안전장치와 섞어 쓴다.

선형 근사. 접선은 그 점 근처에서 함수의 가장 좋은 일차식 근사다. f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x − a). √x를 a = 4 근처에서 쓰면 √4.1 ≈ 2 + (1/4)·0.1 = 2.025이고, 실제 값 2.024846과 0.000154만큼 다르다. 물리의 "작은 각에서 sin θ ≈ θ", 오차 전파 계산, 뉴턴 방법 자체가 모두 이 근사다.

적분과 넓이: 리만 합

곡선 y = f(x) 아래, x = a부터 b까지의 넓이를 어떻게 잴까? 구간을 n칸으로 나누고 칸마다 높이 f(xᵢ)인 직사각형을 세워 넓이를 더한다. 이것이 리만 합 Σ f(xᵢ)·Δx다. 칸을 끝없이 잘게 나눴을 때 합이 한 값으로 모이면 그 극한을 정적분 ∫_a^b f(x) dx라 쓴다. ∫는 합(Sum)의 S를 늘인 기호이고, dx는 칸의 폭 Δx가 극한에서 된 것이다.

y = x² + 1을 0부터 2까지 적분하면 정확히 14/3 ≈ 4.6667다. 칸의 왼쪽 끝 높이를 쓰면 n = 2, 4, 8, 16에서 합이 3, 3.75, 4.188, 4.422이다. 칸을 두 배로 할 때마다 오차가 대략 절반이 되므로 오차는 1/n에 비례한다. 칸의 가운데 높이를 쓰면 같은 4칸으로도 4.625(오차 0.0417)로 훨씬 정확하다. 이 차이가 아래 수치 적분 절의 출발점이다.

넓이는 부호가 있다. 곡선이 x축 아래로 내려가면 그 부분은 음수로 더해진다. 그래서 속도를 시간으로 적분하면 이동한 "위치 변화"가 나오고, 거리(늘 양수)를 원하면 |속도|를 적분해야 한다.

미적분의 기본 정리

넓이를 매번 리만 합의 극한으로 구할 수는 없다. 미분과 적분을 잇는 미적분의 기본 정리가 이를 해결한다.

1. 1부: 넓이 함수 A(x) = ∫_a^x f(t) dt를 미분하면 원래 함수가 된다. A′(x) = f(x). x를 dx만큼 늘리면 넓이는 폭 dx, 높이 f(x)인 얇은 띠만큼 늘기 때문이다.
2. 2부: F′ = f인 함수(원시 함수, 부정적분) F를 하나 찾으면 ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)다.

앞 절의 예에서 (x³/3 + x)′ = x² + 1이므로 ∫₀² (x² + 1) dx = (8/3 + 2) − 0 = 14/3이다. 리만 합 수십 개를 더하는 대신 뺄셈 한 번으로 끝난다. 아래 그림에서 넓이 함수 A(x) = x³/3 + x는 x = 1.5에서 값이 2.625이고, 그 접선 기울기 3.25는 왼쪽 곡선의 높이 f(1.5) = 3.25와 같다.

원시 함수는 하나가 아니다. 상수를 미분하면 0이므로 x³/3 + x + 5도 x² + 1의 원시 함수이고, 한 구간 위의 원시 함수끼리는 상수만큼만 다르다. 그래서 부정적분은 ∫ (x² + 1) dx = x³/3 + x + C처럼 적분 상수 C를 붙여 적는다. 정적분에서는 F(b) − F(a)에서 C가 지워지지만, 처음 값이 주어진 문제(아래 미분 방정식 절의 y₀)에서는 그 조건으로 C를 정해야 답이 하나로 정해진다.

그래서 적분은 "미분을 거꾸로 하기"가 된다. 속도를 적분하면 위치, 가속도를 적분하면 속도, 변화율을 적분하면 누적량이다. 다만 원시 함수가 초등 함수로 써지지 않는 경우(예: e^−x², sin x / x)가 많아, 그때는 수치 적분을 쓴다.

적분 기법: 치환과 부분적분

• 치환 적분은 연쇄 법칙을 거꾸로 쓴 것이다. 적분할 식이 f(g(x))·g′(x) 꼴이면 u = g(x), du = g′(x) dx로 바꿔 ∫ f(u) du를 푼다. ∫₀¹ 2x·e^x² dx에서 u = x²로 두면 2x dx = du이고, x가 0→1일 때 u도 0→1이라 ∫₀¹ eᵘ du = e − 1 ≈ 1.7183다. 수치 적분으로 구한 값 1.7183와 같다.
• 부분적분은 곱의 법칙을 거꾸로 쓴 것이다. (uv)′ = u′v + uv′를 적분해 옮기면 ∫ u dv = uv − ∫ v du. ∫₀¹ x·eˣ dx에서 u = x, dv = eˣ dx로 두면 [x·eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e − 1) = 1이다. 미분하면 단순해지는 쪽(x, ln x)을 u로 고르는 것이 요령이다.

이 밖에 부분분수 분해(유리 함수), 삼각 치환(√(1 − x²) 꼴) 같은 기법이 있지만, 요즘은 손으로 끝까지 푸는 일보다 식의 꼴을 알아보고 컴퓨터 대수 시스템이나 수치 적분에 맡기는 일이 많다.

수치 적분: 사다리꼴과 심프슨

원시 함수를 모르거나 함수가 측정값 표로만 주어지면 넓이를 수치로 어림한다. 리만 합의 직사각형 대신 이웃한 두 점을 직선으로 이으면 사다리꼴 공식, 세 점을 포물선으로 이으면 심프슨 공식이다.

• 사다리꼴: (h/2)·(f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fₙ₋₁ + fₙ). 오차가 h², 곧 1/n²에 비례한다.
• 심프슨(n은 짝수): (h/3)·(f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fₙ₋₁ + fₙ). 오차가 h⁴에 비례한다. 같은 점을 쓰면서 가중치만 바꿨는데 훨씬 정확하다.

∫₀^π sin x dx = 2를 4칸으로 계산하면 사다리꼴은 1.8961(오차 0.1039), 심프슨은 2.0046(오차 0.00456)다. 칸을 두 배로 늘릴 때마다 사다리꼴 오차는 약 1/4, 심프슨은 약 1/16로 준다.

차원이 높으면 이런 격자 방식은 점 수가 기하급수로 늘어 쓸 수 없다. 그래서 고차원 적분은 무작위 점의 평균으로 어림하는 몬테카를로 방법을 쓴다. 렌더링 방정식을 몬테카를로로 푸는 경로 추적은 컴퓨터 그래픽스 노트에 있다.

테일러 급수

한 점에서 함수의 값, 기울기, 기울기의 변화(2계 도함수), …를 모두 알면 그 근처의 모양을 다항식으로 재현할 수 있다. a = 0에서 f(x) ≈ f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + f‴(0)x³/3! + …. 이것이 테일러 급수(a = 0이면 매클로린 급수)다. 각 항의 n!은 xⁿ을 n번 미분하면 n!이 나오는 것을 맞춰 주는 몫이다.

sin x는 미분할 때마다 sin → cos → −sin → −cos로 돌고 0에서의 값이 0, 1, 0, −1이라 sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …다. x = 2에서 3차까지 0.6667(오차 2.4 × 10⁻¹), 5차까지 0.9333(오차 2.4 × 10⁻²), 9차까지 0.9093(오차 5.0 × 10⁻⁵)로, 차수를 올릴수록 sin 2 = 0.909297에 붙는다. 부호가 번갈아 바뀌고 항이 줄어드는 급수라 오차는 다음 항보다 작다. 9차까지 쓰면 다음 항 2¹¹/11! ≈ 5.1 × 10⁻⁵이 오차의 상한이다.

계산기와 수학 라이브러리는 각도를 0 근처로 줄인 뒤(주기성 이용) 이런 다항식(실제로는 오차를 고르게 맞춘 최적 다항식)으로 sin, exp, log를 계산한다. eˣ = 1 + x + x²/2! + …에 x = iθ를 넣으면 오일러 공식 e^iθ = cos θ + i sin θ가 나온다. 1차까지만 쓴 것이 앞의 선형 근사이고, 2차까지 쓰면 극값 근처의 곡률을 다루는 뉴턴형 최적화가 된다.

다변수 맛보기: 편미분과 기울기

입력이 둘 이상인 함수 f(x, y)는 방향마다 변화율이 다르다. 한 변수만 움직이고 나머지는 상수로 고정한 미분이 편미분 ∂f/∂x, ∂f/∂y이고, 그래프를 그 방향으로 자른 단면의 기울기다. 언덕 f(x, y) = 9 − x² − y²의 점 (1, 2)(높이 4)에서 ∂f/∂x = −2x = −2, ∂f/∂y = −2y = −4이다.

편미분을 모은 벡터 ∇f = (−2, −4)이 기울기(gradient)다. 단위 벡터 u 방향으로 움직일 때의 변화율(방향 미분)은 내적 ∇f·u이므로, (3, 4) 방향(단위 벡터 (0.6, 0.8))으로는 −4.4다. 내적은 u가 ∇f와 같은 방향일 때 가장 크므로 ∇f가 가장 가파르게 오르는 방향이고, 그 기울기는 |∇f| = √20 ≈ 4.472다. 이 성질을 거꾸로 써서 손실 함수를 내려가는 것이 경사 하강이며, 등고선 그림과 학습률 이야기는 AI를 위한 수학 노트에 있다.

미분 방정식 맛보기: 성장, 감쇠, 오일러 방법

"변화율이 지금 양에 비례한다"는 법칙은 dy/dt = k·y라는 미분 방정식이 된다. 답은 y = y₀·e^kt다. k > 0이면 지수 성장(이자, 초기의 세균 증식), k < 0이면 지수 감쇠(방사성 붕괴, 식는 커피의 온도 차, 축전기 방전)다. 감쇠에서 양이 절반이 되는 시간 T = ln 2 / |k|를 반감기라 하는데, 이 값은 처음 양과 상관이 없다. 탄소-14의 반감기를 흔히 쓰는 5730년으로 두면 1만 년 뒤에는 처음의 29.8%가 남는다.

대부분의 미분 방정식은 이렇게 식으로 풀리지 않는다. 그럴 때 가장 단순한 수치 해법이 오일러 방법이다. 지금 자리의 기울기를 믿고 시간 h만큼 직선으로 간다. yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). dy/dt = y, y(0) = 1을 t = 2까지 풀면 정답 e² ≈ 7.389에 대해 h = 0.5이면 5.063, h = 0.25이면 5.96, h = 0.1이면 6.727이다. 오차가 h에 대략 비례(1차 방법)해서 정확도를 열 배 올리려면 걸음이 열 배 필요하다. 그래서 실제로는 한 걸음 안에서 기울기를 여러 번 재는 룽게–쿠타(RK4) 같은 고차 방법을 쓴다.

게임 물리 엔진도 매 프레임 이 일을 한다. 위치와 속도를 어떤 순서로 갱신하느냐(명시적·반암시적 오일러)에 따라 용수철이 폭주하기도 하는데, 그 비교는 게임 개발 수학 노트의 물리 적분 절에 있다.

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